Vari veis Aleat rias Uma vari vel aleat ria associa um n meroreal a cada resultado de um experimentoaleat rio Mais precisamente .
Vari veis Aleat rias Uma vari vel aleat ria uma fun o mensur vel X R que associa umn mero real a cada resultado de umexperimento aleat rio .
Exemplos de vari veisaleat rias Moeda honesta lan ada 3 vezes ccc cck ckc X n mero de caras.
Y n mero de transi esQuando se observa cck Exemplos de vari veisaleat rias Moeda honesta lan ada 3 vezes.
ccc cck ckc X n mero de carasY n mero de transi es Exemplos de vari veisaleat rias.
Moeda honesta lan ada 3 vezes ccc cck ckc X n mero de carasY n mero de transi esP X x 1 8 3 8 3 8 1 8.
fun o de massa de probabilidade fmp de X Exemplos de vari veisaleat rias Moeda honesta lan ada 3 vezes ccc cck ckc .
X n mero de carasY n mero de transi es Exemplos de vari veisaleat rias Moeda honesta lan ada 3 vezes.
ccc cck ckc X n mero de carasY n mero de transi esP Y y 1 4 2 4 1 4 Fun o de Distribui o Acumulada.
A fun o de distribui o acumulada deuma vari vel aleat ria X a fun o FX R R definida porFX x P X x Fun o de Distribui o Acumulada.
Exemplo x 0 1 2 3P X x 1 8 3 8 3 8 1 8Se x 0 P X x 0Se 0 x 1 P X x P X 0 1 8Se 1 x 2 P X x P X 0 ou X 1 1 8 3 8 1 2.
Fun o de Distribui o Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10X pr mio ganho0 se x 0P X x x 10 se 0 x 10.
1 se x 10 Fun o de Distribui o Acumulada Lan a moeda honesta se tirar cara gira roletanumerada continuamente de 0 a 10X pr mio ganho.
Fun o de Distribui o Acumulada Lan a moeda honesta se tirar cara gira roletanumerada continuamente de 0 a 10X pr mio ganho0 se x 0.
P X x x 10 se 0 x 101 se x 10 Tipos de Vari veis Aleat rias DiscretasFX x xi x P X xi .
Absolutamente Cont nuasFX x xi x fX x dx onde fX x a densidade de probabilidade de X MistasFX x xi x P X xi xi x fX x dx.
H outras mais patol gicas P X 0 0 se x 0fX x 1 20 se 0 x 100 se x 10.
Propriedades da F D A FX n o decrescente lim x FX x 0 lim x FX x 1 lim x a FX x F a continuidade Fun o de Distribui o Acumulada.
A f d a caracteriza completamente a distribui ode qualquer v a ou seja conhecendo a f d a podemos obter a probabilidade de qualquerevento envolvendo a v a P X 2 .
P X 3 P X 3 1 3 x P 1 X 3 Principais Distribui es Bernoulli.
Binomial Geom trica Hipergeom trica Poisson Principais Distribui es Cont nuas.
Uniforme Exponencial Normal e associadas 2 t F Bernoulli Espa o amostral bin rio sucesso .
fracasso sim n o 1 0 1 com probabilidade p0 com probabilidade 1 pNota o X be p Binomial.
Sequ ncia de n experimentos de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade p de X n mero de sucessos Binomial Sequ ncia de n experimentos de Bernoulli .
independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X n mero de sucessosCada uma das seq ncias com k sucessos e n k fracassos tem k .
probabilidade pk 1 p n k Logo n kP X k p 1 p n k k 0 1 nNota o X B n p Geom trica.
Sequ ncia de experimentos de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade pde sucesso X lan amento em que ocorre o primeiro Geom trica.
Sequ ncia de experimentos de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade p de X lan amento em que ocorre o primeiroX k k 1 fracassos seguido de um sucessoP X k 1 p p k 1 2 3 .
Nota o X G p Hipergeom trica Urna com N bolas sendo B brancas de ondes o extra das n bolas sem reposi o X n mero de bolas brancas extra das.
B N B b n b P X b .
Nota o X HG N B n Amostra de tamanho n extra da de umapopula o com N indiv duos dos quais bs o favor veis a um candidato Qual a distribui o do n mero de.
pessoas favor veis ao candidato na Amostra de tamanho n extra da de umapopula o com N indiv duos dos quais Bs o favor veis a um candidato Qual a distribui o do n mero de.
pessoas favor veis ao candidato na Resposta HG N B n Amostra de tamanho n extra da de umapopula o com N indiv duos dos quais bs o favor veis a um candidato .
Qual a distribui o do n mero depessoas favor veis ao candidato na Resposta HG N B n Mas se n N aproximadamente Distribui o de Poisson.
Em m dia um site de internet tem 0 5acessos por segundo Qual o modeloapropriado para a distribui o do n merode acessos efetuados em um segundo Distribui o de Poisson.
Discretizar 1 segundo em n intervalos dedura o 1 n Como o n mero de usu rios grande razo vel considerar a exist ncia de acessosneste intervalos como eventos independentes .
cada um com probabilidade p Para que o n mero m dio de acessos porminuto seja igual a deve se ter np Distribui o de PoissonP X k lim P Y k onde Y B n p .
n nn P X k lim 1 n k n k n n k n n 1 n k 1 .
lim 1 1 k n nk n n k e k 0 1 2 Distribui o de Poisson.
Caso limite da distribui o binomial quando n e np se mant m constante Acessos a sites Chegadas de consumidores a um banco N mero de erros tipogr ficos em um texto.
N mero de part culas radioativas emitidas No caso da p gina de internet qual aprobabilidade de que haja pelo menos umacesso em um dado segundo No caso da p gina de internet qual a.
probabilidade de que haja pelo menos umacesso em um dado segundo P X 0 1 P X 0 1 e 0 5 0 395 Qual a distribui o do n mero deacessos em um minuto .
Qual a distribui o do n mero deacessos em um minuto Poisson 30 Em geral o n mero de acessos em umintervalo de dura o t tem distribui o.
Poisson t Esperan a Id ia a esperan a ou valor esperado deuma v a o valor m dio que se esperaobter ao se repetir um experimento.
aleat rio um grande n mero de vezes Esperan a Exemplo Quem acerta um dos 25 grupos nojogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado Qual o ganho esperado para quem aposta R .
Esperan a Exemplo Quem acerta um dos 25 grupos nojogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado Qual o ganho esperado para quem aposta R Ganha se 17 com probabilidade 1 25.
1 com probabilidade 24 25Ap s um grande n mero n de apostas o ganho m dio aproximadamente 17 n 1 n25 25 7 R 0 28.
Esperan a O valor esperado de uma v a discreta XEX i xi P X xi ou seja a m dia dos valores assumidospor X ponderados por sua probabilidade .
EX pode ser um n mero real oun o estar definida Esperan aEX xi P X xi xi P X xi xi 0 xi 0.
finito finito EX R finito EX finito EX EX n o definido Paradoxo de S Petersburgo.
Jogo em que chance de vit ria 1 3 mascuja aposta 1 1 Estrat gia jogar at vencer sempredobrando o valor da aposta Vari veis aleat rias de interesse .
X ganho quando se aposta 1 N n mero de apostas at a sa da Y ganho na sa da Paradoxo de S Petersburgo X 1 com prob 2 3.
1 com prob 1 3EX 1 3 N finito com prob 11 2 1 2 1EN 1 2 3 3.
3 3 3 3 3 Paradoxo de S Petersburgo Mas seja C o capital usado at a vit ria1 2 1 2 1 2 1EC 1 3 7 2 n 1 .
3 3 3 3 3 3 3 Propriedades E aX b aEX b Mas em geral E g X g E X .
Exemplo Y X2EX 1 0 2 1 0 0 4 1 0 4 0 2 X p 1 0 2 Y pEY 0 0 4 1 0 6 0 60 0 4 0 0 4.
1 0 4 1 0 6 Note queEY 02 P X 0 12 P X 1 1 2 P X 1 Propriedades Para X discreta .
E g X i g xi P X xi Law of the unconscious statistician Propriedades E X Y EX EY sempre E XY EX EY se X e Y s o.
independentes Urna com 10 bolas das quais 4 s o brancas Cincobolas s o retiradas Qual o n mero esperado debolas brancas retiradas a com reposi o .
b sem reposi o Vari ncia Var X E X EX 2 E X2 EX 2 Propriedades Var aX b a2 Var X .
Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y Propriedades Se X1 X2 Xn s o independentes ent oVar X1 X2 Xn Var X1 Var X2 Var Xn .
X binomial p Vari veis Aleat rias Cont nuasF x x f t dt f 0 a densidade de X P a X b ab f t dt.
f t dt 1 f x F x P x 2 X x 2 f x Seja X a abscissa de um ponto escolhidoao acaso no tri ngulo da figura Qual a.
densidade de X Solu oF x P X x x 2f x F x x 2 x 0 x 1 Outra solu o.
f x kx kx 2 2 1 k 2 x 1f x 2 x 0 x 1 Esperan aEX xi P X xi .
discreta cont nua EX xi P X xi x f X x dx mista EX x f X x dx Principais Distribui es Cont nuas Uniforme.
Exponencial Normal e associadas 2 t F Distribui o UniformefX 1 b a Distribui o Exponencial.
De volta ao exemplo do site na Internet Qual a distribui o do tempo de esperaX at a ocorr ncia do primeiro acesso X t se e s se o n mero de acessos em 0 t igual a 0.
Logo P X t P N 0 ondeN Poisson t Portanto P X t e t Distribui o Exponencial X tem distribui o exponencial com.
par metro quandoFX x 1 e x para x 0 Ou seja fX x e x para x 0 O tempo de vida em meses de um.
componente tem distribui oexponencial de par metro 0 5 a Qual a probabilidade de que umcomponente novo dure pelo menos 2b Dado que um componente usado j tem 1.
m s de vida qual a probabilidade de queele dure pelo menos mais dois meses Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivasindependentes com distribui o.
exponencial N mero de chegadas em intervalosdisjuntos independentes e comdistribui o Poisson t onde t ocomprimento do intervalo.
Os acidentes em uma rodovia ocorrem deacordo com um Processo de Poisson de taxa 2acidentes por dia N mero m dio de acidentes por semana N mero m dio de dias sem acidentes por semana .
Intervalo m dio entre acidentes Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na Probabilidade de que o primeiro acidente em umcerto dia s ocorra depois das 12 horas Distribui o Normal.
A distribui o normal padr o a distribui o davari vel aleat ria Z de densidadef Z z e 2 Nota o Z N 0 1 EZ 0 Var Z 1.
Distribui o Normal Uma vari vel X tem distribui o normalcom par metros m dia e 2 vari ncia quando da forma X Z onde Nota o X N 2 .
Distribui o Normal Qual a densidade da distribui oX N 2 De modo geral qual a densidade deg X onde g uma fun o invers vel e X .
uma v a de densidade f Transformando uma v a A densidade de Y g X dada porfY y g x .
onde x tal que g x y Transformando uma v a Esperança finito finito EX R – finito EX = – finito + EX = + – + EX não definido Paradoxo de S. Petersburgo Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1.

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